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第3問

4n4n 個の小石があり、重さはそれぞれ 1,2,3,…,4n1, 2, 3, \ldots, 4n である。各小石は nn 色のいずれか一色で塗られており、各色の小石はちょうど4個ずつある。石を二つの山に分けて、両方の山の総重量が等しく、かつそれぞれの山に各色の石がちょうど2個ずつ含まれるようにできることを示せ。
ステップ 6/6: 二つの山が釣り合うことを確かめる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

青の接続数を2通りに数えると、青い紐の本数と緑の紐の本数がちょうど等しいことが分かり、どの紐も同じ重さなので、二つの山は同じ重さになるはずである。

∣Pileblue∣=∣Pilegreen∣=2n,∑Pileblue=∑Pilegreen=n(4n+1).|\text{Pile}_{\text{blue}}|=|\text{Pile}_{\text{green}}|=2n,\qquad \sum \text{Pile}_{\text{blue}}=\sum \text{Pile}_{\text{green}}=n(4n+1).
詳しい解説

n 個の頂点すべてにわたって青の次数を足し合わせると、青い辺の端点が 2n 個数えられ、青い紐1本は端点を2個提供するので、青い紐はちょうど n 本ある。対称に緑の紐も n 本あり、合計 2n 本と一致する。どの紐も重さ 4n+1 なので、青い山の重さは n(4n+1)、緑の山の重さも n(4n+1) であり、二つの山は同じ重さを持ち、前段階より同じ色構成も持つので、構成が完成する。