MathLabs

第5問

n>1n>1 枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ:任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような nn に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。
ステップ 2/8: すべてのカードは同じ偶奇性を持つ
ざっくり言うと

2枚の平均は半整数になれない。

xij=ai+aj2∈Zx_{ij}=\frac{a_i+a_j}{2}\in\mathbb Z
詳しい解説

任意の2枚について、相加平均は相乗平均に等しい。これは整数の正の整数乗根なので、ステップ1により整数である。したがって任意の組で ai+aja_i+a_j は偶数であり、すべてのカードは同じ偶奇性を持つ。