第5問

n>1

枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ：任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような

n

に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。

ステップ 6/8: 決定的な平均は p で割れない

ざっくり言うと

平均は p で割れない最大カードより大きい。

x=\frac{M+a_k}{2},\qquad a_k<x<M,\qquad p\nmid x

詳しい解説

$M$ と $a_k$ はともに奇数なので、ステップ2より $x$ は整数であり、 $x>a_k$ である。もし $p\mid x$ なら $p\mid2x=M+a_k$ となる。 $p\mid M$ かつ $p$ は奇数なので、これは $p\mid a_k$ を意味し矛盾である。