第5問

n>1

枚のカードからなる束が与えられている。各カードには正の整数が一つ書かれている。この束は次の性質を持つ：任意の2枚のカードの数の相加平均は、1枚以上のカードからなるある集合の数の相乗平均でもある。どのような

n

に対して、カード上の数がすべて等しいことが導かれるか。

ステップ 7/8: 相乗平均は p で割れないカードだけを使う

ざっくり言うと

p で割れない積は p の倍数を因子に含まない。

x^m=\prod_{r=1}^{m}a_{i_r},\qquad p\nmid x\Longrightarrow p\nmid a_{i_r}

詳しい解説

仮定より、 $x$ は $m\ge1$ 枚のカードの相乗平均である。したがって $x^m=\prod_{r=1}^m a_{i_r}$ 。 $p\nmid x$ なのでどの因子も $p$ で割り切れず、各因子は $a_k$ 以下である。