MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 2/8: 直径の方向を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直径は最大の射影間隔で抑えられる。

R=AB,R<(n−1)δ<nδR=AB,\qquad R<(n-1)\delta<n\delta
詳しい解説

最も遠い点 A,BA,B を選び R=ABR=AB とおく。直線 ABAB 上の連続する射影の間隔は高々 δ\delta なので、R<(n−1)δ<nδR<(n-1)\delta<n\delta である。