MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 3/8: 弦の上界を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円の幾何から弦の上界が得られる。

XY=2R2−(R−12)2=2R−14<2nδXY=2\sqrt{R^2-(R-\frac12)^2}=2\sqrt{R-\frac14}<2\sqrt{n\delta}
詳しい解説

中心 BB、半径 RR の円で、ABAB に垂直かつ AA から距離 12\frac12 の弦 XYXY を取る。ピタゴラスの定理より XY=2R2−(R−12)2=2R−14<2nδXY=2\sqrt{R^2-(R-\frac12)^2}=2\sqrt{R-\frac14}<2\sqrt{n\delta} である。