MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 4/8: 薄い円弓内の点を数える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

多くの分離された点が薄い円弓に入る。

T=the smaller segment cut off by XY,#(T∩S)>12δT=\text{the smaller segment cut off by }XY,\qquad \#(T\cap S)>\frac1{2\delta}
詳しい解説

XYXY で切り取られる小さい円弓を TT とする。その ABAB 方向の幅は 12\frac12 である。ABAB への連続する射影の間隔は高々 δ\delta なので、この円弓内の SS の点の個数は #(T∩S)>12δ\#(T\cap S)>\frac1{2\delta} を満たす。