MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 5/8: T の点を弦に射影する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

薄い幅により弦方向の分離が強制される。

∣P−Q∣≥1,∣proj⁡XY(P)−proj⁡XY(Q)∣>32(P,Q∈S∩T)|P-Q|\ge1,\quad |\operatorname{proj}_{XY}(P)-\operatorname{proj}_{XY}(Q)|>\frac{\sqrt3}{2}\quad(P,Q\in S\cap T)
詳しい解説

P,Q∈S∩TP,Q\in S\cap T の2点について、ABAB 方向の座標差は 12\frac12 未満である。XYXY への射影の差が高々 32\frac{\sqrt3}{2} ならば、ピタゴラスの定理により PQ<1PQ<1 となり、SS の分離性に反する。よって XYXY への連続射影の差は 32\frac{\sqrt3}{2} より大きい。