MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 6/8: 同じ弦の下界を求める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

離れた射影が弦の長さを使い切る。

XY>32(#(T∩S)−1)>34δ−32XY>\frac{\sqrt3}{2}(\#(T\cap S)-1)>\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}
詳しい解説

S∩TS\cap T の点の XYXY への射影を並べると、XY>32(#(T∩S)−1)>34δ−32XY>\frac{\sqrt3}{2}(\#(T\cap S)-1)>\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2} を得る。