MathLabs

第6問

整数 n>1n>1 と、平面上の nn 点からなる集合 SS を考える。SS の異なる2点間の距離はすべて少なくとも 11 とする。ある絶対定数 c>0c>0 に対して、SS を分離する直線 ℓ\ell で、SS の任意の点から ℓ\ell までの距離が少なくとも cn−1/3c n^{-1/3} となるものが存在することを証明せよ。（直線 ℓ\ell が点集合 SS を分離するとは、SS の2点を結ぶある線分が ℓ\ell と交わることである。）
ステップ 7/8: 二つの評価を組み合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの評価から三乗根のスケールが強制される。

34δ−32<XY<2nδ⟹δ≥c′n−1/3(c′>0 absolute)\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}<XY<2\sqrt{n\delta}\Longrightarrow \delta\ge c'n^{-1/3}\quad(c'>0\text{ absolute})
詳しい解説

34δ−32<XY<2nδ\frac{\sqrt3}{4\delta}-\frac{\sqrt3}{2}<XY<2\sqrt{n\delta} を組み合わせると、絶対定数 c′>0c'>0 に対して δ≥c′n−1/3\delta\ge c'n^{-1/3} が得られる。δ≥1\delta\ge1 なら明らかであり、δ<1\delta<1 なら左辺は少なくとも 38δ\frac{\sqrt3}{8\delta} なので、整理すれば三乗根の下界となる。