国際数学オリンピック · 2022年

問題

第1問オスロ銀行はアルミニウム貨（ $A$ と表す）と青銅貨（ $B$ と表す）の二種類の硬貨を発行している。マリアンヌは $n$ 枚のアルミニウム貨と $n$ 枚の青銅貨を任意の初期順序で一列に並べている。チェーンとは同じ種類の連続する硬貨からなる部分列のことである。固定された正の整数 $k\le2n$ に対して、マリアンヌは次の操作を繰り返し行う。左から $k$ 番目の硬貨を含む最長のチェーンを特定し、そのチェーンに含まれるすべての硬貨を列の左端に移動する。すべての初期順序に対して、操作の過程のある時点で左端の $n$ 枚がすべて同じ種類になるような組 $(n,k)$ （ $1\le k\le2n$ ）をすべて求めよ。解答: 1
第2問 $\mathbb{R}^+$ を正の実数全体の集合とする。すべての $x\in\mathbb{R}^+$ に対して、 $xf(y)+yf(x)\le2$ を満たす $y\in\mathbb{R}^+$ がちょうど一つ存在するような関数 $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ をすべて求めよ。解答: 1
第3問 $k$ を正の整数とし、 $S$ を奇素数からなる有限集合とする。 $S$ の元を円周上に並べたとき、隣り合う任意の二元の積が、ある正の整数 $x$ に対して $x^2+x+k$ の形になるような並べ方が、（回転と鏡映を除いて）高々一通りしかないことを証明せよ。解答: 1
第4問凸五角形 $ABCDE$ が $BC=DE$ を満たすとする。 $ABCDE$ の内部に点 $T$ があり、 $TB=TD$ 、 $TC=TE$ 、 $\angle ABT=\angle TEA$ を満たすとする。直線 $AB$ と直線 $CD$ 、 $CT$ との交点をそれぞれ $P$ 、 $Q$ とし、直線上でこの順に $P,B,A,Q$ が並ぶとする。直線 $AE$ と直線 $CD$ 、 $DT$ との交点をそれぞれ $R$ 、 $S$ とし、直線上でこの順に $R,E,A,S$ が並ぶとする。点 $P$ 、 $S$ 、 $Q$ 、 $R$ が同一円周上にあることを証明せよ。解答: 1
第5問 $p$ が素数であるような正の整数の組 $(a,b,p)$ で $a^p=b!+p$ を満たすものをすべて求めよ。解答: 1
第6問 $n$ を正の整数とする。ノルディック方陣とは、 $1$ から $n^2$ までのすべての整数を、各マスにちょうど一つずつ含む $n\times n$ の盤面である。上り坂経路とは、一つ以上のマスからなる列で、次を満たすものである。(a) 列の最初のマスは谷、すなわちそこに書かれた数が直交する隣接マスすべての数より小さい；(b) 列の各後続マスは直前のマスと直交隣接している；(c) 列のマスに書かれた数は増加順である。ノルディック方陣における上り坂経路の総数の最小値を $n$ の関数として求めよ。解答: 1