b!b!b! がすでに ppp の因子を二つ含んでいれば、b!+pb!+pb!+p は ppp の因子をちょうど一つしか持たず、それは完全な ppp 乗数には決して起こり得ない。
b≥2pb\ge2pb≥2p ならば p2∣b!p^2\mid b!p2∣b! となり vp(b!+p)=1v_p(b!+p)=1vp(b!+p)=1 となるが、これは完全な ppp 乗数 apa^pap には起こり得ない。b=2p−1b=2p-1b=2p−1 の場合は別に除外する：(2p−1)!+p=p[(p−1)!(p+1)(p+2)⋯(2p−1)+1](2p-1)!+p=p\big[(p-1)!(p+1)(p+2)\cdots(2p-1)+1\big](2p−1)!+p=p[(p−1)!(p+1)(p+2)⋯(2p−1)+1] であり、ウィルソンの定理により括弧内は p>2p>2p>2 で ≡2(modp)\equiv2\pmod p≡2(modp) となるので、再び ppp による整除性と矛盾する。p=2p=2p=2 の場合、3!+2=83!+2=83!+2=8 は平方数ではない。したがって b≤2p−2b\le2p-2b≤2p−2 である。