第2問

\mathbb{R}^+

を正の実数全体の集合とする。すべての

x\in\mathbb{R}^+

に対して、

xf(y)+yf(x)\le2

を満たす

y\in\mathbb{R}^+

がちょうど一つ存在するような関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 2/6:

a\ne b

が互いの友であると仮定し

f(a)>1/a

を導く

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

友であることは対称な関係なので、もし $a$ と $b$ が異なる友であったなら、それぞれも自分自身の友でなければならなくなり、これはすぐに制約が強すぎることになる。

a\ne b,\quad af(b)+bf(a)>2

詳しい解説

背理法として $a\ne b$ が互いの友であると仮定する。友の関係は $x$ が友を持つことを要求し、対称性により $a$ が $b$ の唯一の友であり $b$ が $a$ の唯一の友であることで、許される唯一の友を既に使い切っているので、 $a$ は同時に自分自身の友であることはできず、 $af(a)+af(a)>2$ となり $f(a)>1/a$ が得られる。対称的に $f(b)>1/b$ である。