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第2問

R+\mathbb{R}^+ を正の実数全体の集合とする。すべての x∈R+x\in\mathbb{R}^+ に対して、xf(y)+yf(x)≤2xf(y)+yf(x)\le2 を満たす y∈R+y\in\mathbb{R}^+ がちょうど一つ存在するような関数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ をすべて求めよ。
ステップ 3/6: AM–GM を用いて af(b)+bf(a)≤2af(b)+bf(a)\le2 と矛盾させる
前のステップ次のステップ
af(b)+bf(a)>ab+ba≥2af(b)+bf(a)>\tfrac{a}{b}+\tfrac{b}{a}\ge2
詳しい解説

前のステップの f(a)>1/af(a)>1/a と f(b)>1/bf(b)>1/b を用いると、AM–GM により af(b)+bf(a)>a/b+b/a≥2af(b)+bf(a)>a/b+b/a\ge2 となり、aa と bb が互いの友であるという仮定 af(b)+bf(a)≤2af(b)+bf(a)\le2 と矛盾する。したがって相異なる二数が互いの友になることはなく、すべての x∈R+x\in\mathbb{R}^+ は自分自身の唯一の友である。