第2問

\mathbb{R}^+

を正の実数全体の集合とする。すべての

x\in\mathbb{R}^+

に対して、

xf(y)+yf(x)\le2

を満たす

y\in\mathbb{R}^+

がちょうど一つ存在するような関数

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

をすべて求めよ。

ステップ 4/6: 他の友を除外した後で条件を書き直す

xf(x)\le1\ \text{and}\ xf(y)+yf(x)>2\ \text{for}\ x\ne y

詳しい解説

$x$ は自分自身の唯一の友であるから、 $xf(x)+xf(x)\le2$ より $xf(x)\le1$ となり、すべての $y\ne x$ に対して $xf(y)+yf(x)>2$ でなければならない（さもなければ $y$ が $x$ の第二の友になってしまう）。