MathLabs

第2問

R+\mathbb{R}^+ を正の実数全体の集合とする。すべての x∈R+x\in\mathbb{R}^+ に対して、xf(y)+yf(x)≤2xf(y)+yf(x)\le2 を満たす y∈R+y\in\mathbb{R}^+ がちょうど一つ存在するような関数 f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ をすべて求めよ。
ステップ 5/6: ε→0\varepsilon\to0 として f(x)≥1/xf(x)\ge1/x を強制する
前のステップ次のステップ
f(x)>x+2ε(x+ε)2=1x−ε2x(x+ε)2f(x)>\frac{x+2\varepsilon}{(x+\varepsilon)^2}=\frac1x-\frac{\varepsilon^2}{x(x+\varepsilon)^2}
詳しい解説

小さい ε>0\varepsilon>0 に対して y=x+εy=x+\varepsilon として厳密な不等式を適用する：x/(x+ε)<xf(x+ε)+(x+ε)f(x)x/(x+\varepsilon)<xf(x+\varepsilon)+(x+\varepsilon)f(x)。これを (x+ε)f(x+ε)≤1(x+\varepsilon)f(x+\varepsilon)\le1 と組み合わせると f(x)>x+2ε(x+ε)2=1x−ε2x(x+ε)2f(x)>\frac{x+2\varepsilon}{(x+\varepsilon)^2}=\frac1x-\frac{\varepsilon^2}{x(x+\varepsilon)^2} が得られ、ε→0\varepsilon\to0 とすると f(x)≥1/xf(x)\ge1/x が従う。