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第3問

kk を正の整数とし、SS を奇素数からなる有限集合とする。SS の元を円周上に並べたとき、隣り合う任意の二元の積が、ある正の整数 xx に対して x2+x+kx^2+x+k の形になるような並べ方が、（回転と鏡映を除いて）高々一通りしかないことを証明せよ。
ステップ 1/6: 数を良いと呼び x≥0x\ge0 を許す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

置換 x↦−1−xx\mapsto-1-x は x2+x+kx^2+x+k を変えないので、正の xx に制限しても非負の xx に制限しても同じ値の集合を表す。

n good  ⟺  n=x2+x+k, x∈Z≥0n\ \text{good}\iff n=x^2+x+k,\ x\in\mathbb{Z}_{\ge0}
詳しい解説

(−1−x)2+(−1−x)+k=x2+x+k(-1-x)^2+(-1-x)+k=x^2+x+k であるから、非負整数 xx に対して n=x2+x+kn=x^2+x+k となるとき nn を良いと呼ぶことは、正の整数 xx を要求することとまったく同じ数を表す。便宜上、非負の規約を用いる。