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第3問

kk を正の整数とし、SS を奇素数からなる有限集合とする。SS の元を円周上に並べたとき、隣り合う任意の二元の積が、ある正の整数 xx に対して x2+x+kx^2+x+k の形になるような並べ方が、(回転と鏡映を除いて)高々一通りしかないことを証明せよ。
ステップ 6/6: 最大の素数を除いて ∣S∣|S| に関して帰納法を用いる
S∖{p} is obtained by replacing q−p−r with q−rS\setminus\{p\}\text{ is obtained by replacing }q-p-r\text{ with }q-r
詳しい解説

∣S∣≤2|S|\le2 なら回転と鏡映を除いて円形配置は一意である。∣S∣≥3|S|\ge3 では、p=max⁡Sp=\max S とし、異なる隣接要素を q,rq,r とする。前段により pp を除いて q,rq,r を結んでも良さが保たれるので、帰納法から S∖{p}S\setminus\{p\} の配置は一意である。強制された二隣接の間に最大素数 pp を戻せば、SS の配置も一意となる。