MathLabs

第4問

凸五角形 ABCDEABCDE が BC=DEBC=DE を満たすとする。ABCDEABCDE の内部に点 TT があり、TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE、∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA を満たすとする。直線 ABAB と直線 CDCD、CTCT との交点をそれぞれ PP、QQ とし、直線上でこの順に P,B,A,QP,B,A,Q が並ぶとする。直線 AEAE と直線 CDCD、DTDT との交点をそれぞれ RR、SS とし、直線上でこの順に R,E,A,SR,E,A,S が並ぶとする。点 PP、SS、QQ、RR が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: 角の仮定と合わせて相似な三角形を得る
前のステップ次のステップ
△TQB∼△TSE ⇒ ∠PQC=∠EST,QTST=TBTE\triangle TQB\sim\triangle TSE\ \Rightarrow\ \angle PQC=\angle EST,\quad \frac{QT}{ST}=\frac{TB}{TE}
詳しい解説

QQ は AA の先の半直線 BABA 上にあり、SS は AA の先の半直線 EAEA 上にあるので、∠TBQ=∠ABT\angle TBQ=\angle ABT、∠TES=∠AET\angle TES=\angle AET となる。よって仮定 ∠ABT=∠AET\angle ABT=\angle AET から ∠TBQ=∠TES\angle TBQ=\angle TES が得られる。前のステップの ∠BTQ=∠ETS\angle BTQ=\angle ETS と合わせると、角角相等（AA）により △TQB∼△TSE\triangle TQB\sim\triangle TSE となり、∠PQC=∠EST\angle PQC=\angle EST と QT/ST=TB/TEQT/ST=TB/TE が得られる。