MathLabs

第4問

凸五角形 ABCDEABCDE が BC=DEBC=DE を満たすとする。ABCDEABCDE の内部に点 TT があり、TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE、∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA を満たすとする。直線 ABAB と直線 CDCD、CTCT との交点をそれぞれ PP、QQ とし、直線上でこの順に P,B,A,QP,B,A,Q が並ぶとする。直線 AEAE と直線 CDCD、DTDT との交点をそれぞれ RR、SS とし、直線上でこの順に R,E,A,SR,E,A,S が並ぶとする。点 PP、SS、QQ、RR が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 4/6: TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE を用いて C,D,Q,SC,D,Q,S が共円であることを示す
前のステップ次のステップ
QT⋅TE=QT⋅TC=ST⋅TB=ST⋅TD ⇒ CDQS cyclicQT\cdot TE=QT\cdot TC=ST\cdot TB=ST\cdot TD\ \Rightarrow\ CDQS\ \text{cyclic}
詳しい解説

QT/ST=TB/TEQT/ST=TB/TE を通分すると QT⋅TE=ST⋅TBQT\cdot TE=ST\cdot TB となる。TE=TCTE=TC と TB=TDTB=TD を代入すると連鎖 QT⋅TE=QT⋅TC=ST⋅TB=ST⋅TDQT\cdot TE=QT\cdot TC=ST\cdot TB=ST\cdot TD が得られ、特に QT⋅TC=ST⋅TDQT\cdot TC=ST\cdot TD となる。T=CQ∩DST=CQ\cap DS であるから、これはまさに C,D,Q,SC,D,Q,S が共円であるための方べきの判定条件である。