MathLabs

第4問

凸五角形 ABCDEABCDE が BC=DEBC=DE を満たすとする。ABCDEABCDE の内部に点 TT があり、TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE、∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA を満たすとする。直線 ABAB と直線 CDCD、CTCT との交点をそれぞれ PP、QQ とし、直線上でこの順に P,B,A,QP,B,A,Q が並ぶとする。直線 AEAE と直線 CDCD、DTDT との交点をそれぞれ RR、SS とし、直線上でこの順に R,E,A,SR,E,A,S が並ぶとする。点 PP、SS、QQ、RR が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 5/6: 円 CDQSCDQS を用いて PP における角度を追跡する
前のステップ次のステップ
∠QPR=∠QPC=∠QCD−∠PQC\angle QPR=\angle QPC=\angle QCD-\angle PQC
詳しい解説

P,RP,R はともに直線 CDCD 上にあるので ∠QPR=∠QPC\angle QPR=\angle QPC である。C,D,Q,SC,D,Q,S が共円であるから、内接角 ∠QCD\angle QCD は ∠QSD\angle QSD に等しい。また三角形 PQCPQC の CC における外角から ∠QCD=∠QPC+∠PQC\angle QCD=\angle QPC+\angle PQC が成り立つので、∠QPR=∠QPC=∠QCD−∠PQC\angle QPR=\angle QPC=\angle QCD-\angle PQC となる。