MathLabs

第4問

凸五角形 ABCDEABCDE が BC=DEBC=DE を満たすとする。ABCDEABCDE の内部に点 TT があり、TB=TDTB=TD、TC=TETC=TE、∠ABT=∠TEA\angle ABT=\angle TEA を満たすとする。直線 ABAB と直線 CDCD、CTCT との交点をそれぞれ PP、QQ とし、直線上でこの順に P,B,A,QP,B,A,Q が並ぶとする。直線 AEAE と直線 CDCD、DTDT との交点をそれぞれ RR、SS とし、直線上でこの順に R,E,A,SR,E,A,S が並ぶとする。点 PP、SS、QQ、RR が同一円周上にあることを証明せよ。
ステップ 6/6: 角度追跡を仕上げて PQRSPQRS が共円であると結論する
前のステップ次のステップ
∠QCD−∠PQC=∠QSD−∠EST=∠QSR ⇒ PQRS cyclic\angle QCD-\angle PQC=\angle QSD-\angle EST=\angle QSR\ \Rightarrow\ PQRS\ \text{cyclic}
詳しい解説

前のステップの ∠QCD=∠QSD\angle QCD=\angle QSD と ∠PQC=∠EST\angle PQC=\angle EST を代入すると ∠QCD−∠PQC=∠QSD−∠EST\angle QCD-\angle PQC=\angle QSD-\angle EST となる。S,T,DS,T,D が共線で S,E,A,RS,E,A,R が共線であるから、∠EST\angle EST は ∠DSE\angle DSE と同じ半直線の配置を測るので、∠QSD−∠EST=∠QSR\angle QSD-\angle EST=\angle QSR となる。前のステップと合わせると ∠QPR=∠QSR\angle QPR=\angle QSR となり、PP と SS は線分 QRQR を等しい角度で見るので、P,Q,R,SP,Q,R,S は同一円周上にある。