p>ap>ap>a と仮定する。すると p≥a+1p\ge a+1p≥a+1 であり、整数 t≥a+1t\ge a+1t≥a+1 では at−ta^t-tat−t は増加するから、b!=ap−p≥aa+1−(a+1)>a!b!=a^p-p\ge a^{a+1}-(a+1)>a!b!=ap−p≥aa+1−(a+1)>a! となる。したがって b>ab>ab>a である。b!=ap−pb!=a^p-pb!=ap−p を法 aaa で見ると a∣pa\mid pa∣p となるが、1<a<p1<a<p1<a<p に反する（a=1a=1a=1 も元の方程式を満たさない）。ゆえに p≤ap\le ap≤a。