第5問

$p\le a$ かつ $p\mid b!+p$ より $p\mid b!$ となり、特に $p\le b$ である。$a>p$ ならば $a=pk$（整数 $k\ge2$）と書ける。$k<p\le a$ であるから $k$ は $b!$ の因子として現れ（$k<p\le b$ のため）、$k\mid b!$ となる。しかし $k\mid a^p$ である一方 $k\nmid p$（$k<p$ かつ $p$ は素数のため）なので $k\nmid a^p-p=b!$ となり矛盾する。したがってちょうど $a=p$ である。