p≥5p\ge5p≥5 なら b!=p(pp−1−1)=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2)b!=p(p^{p-1}-1)=p(p-1)(1+p+\cdots+p^{p-2})b!=p(pp−1−1)=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2) と書ける。ジグモンディの定理により pp−1−1p^{p-1}-1pp−1−1 には原始素因数 qqq があり、qqq における p の乗法位数は p−1p-1p−1 なので q≡1(modp−1)q\equiv1\pmod{p-1}q≡1(modp−1) である。よって q≥2p−1>2p−2≥bq\ge2p-1>2p-2\ge bq≥2p−1>2p−2≥b かつ q≠pq\ne pq=p となり、q∣b!q\mid b!q∣b! に矛盾する。したがって p≥5p\ge5p≥5 に解はない。