第1問

次の性質を満たすすべての合成数

n>1

を求めよ：

d_1, d_2, \ldots, d_k

を

n

のすべての正の約数とし、

1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n

とする。このとき、すべての

1\le i\le k-2

に対して

d_i

は

d_{i+1}+d_{i+2}

を割り切る。

ステップ 1/3: 素数のべき乗：約数を特定する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

n の素因数が一つしかない場合、その約数はその素数の増加するべき乗にすぎないため、連鎖条件は単純な一つの整除の事実になる。

n=p^r\implies d_i=p^{i-1}

詳しい解説

$p$ を素数、 $r\ge2$ として $n=p^r$ とすると、その約数を順に並べたものは $i=1,\ldots,r+1$ に対して $d_i=p^{i-1}$ となる。必要な関係式 $d_i\mid d_{i+1}+d_{i+2}$ は $p^{i-1}\mid p^i+p^{i+1}=p^i(1+p)$ となり、これは $i-1\le i$ より成り立つ。したがって、すべての素数のべき乗はこの性質を満たす。