第1問

指数 $i=k-e-1$ で性質を適用する：$d_{k-e-1}\mid d_{k-e}+d_{k-e+1}$ は $\frac nq \mid \frac n{p^e}+\frac n{p^{e-1}}=\frac{n(p+1)}{p^e}$ を意味する。両辺を $n/p^e$ で割ると（この整除性は得られる比が整数であることと同値）、$\frac{q(p+1)}{p^e}$ が整数でなければならないことが分かる。しかし $\gcd(p,q)=1$ かつ $\gcd(p,p+1)=1$ なので、$e\ge1$ である限り $p^e$ は $q(p+1)$ を割り切れず、矛盾が生じる。したがって $n$ は素因数を一つしか持たず、ステップ1と合わせると、この性質を持つ合成数はちょうど素数のべき乗 $n=p^r,\ r\ge2$ である。