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第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 1/6: 二等分線上の目標点に名前を付ける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

弧の中点 S の対点は、A から出る内角の二等分線上にある古典的な弧の中点であるため、それを直線 BS と交わらせることで、接線が通るべき点をちょうど特定できる。

H=BS∩AS′,S′=antipode of SH=BS\cap AS',\qquad S'=\text{antipode of }S
詳しい解説

SS は AA を含む弧 CBCB の中点であるから、Ω\Omega に関するその対点 S′S' は AA を含まない弧 BCBC の中点であり、これは ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線が Ω\Omega と交わる古典的な点である。H=BS∩AS′H=BS\cap AS' とおく。命題を示すことは、HH が点 PP における ω\omega の接線上にあることを示すことに帰着する。なぜなら HH はすでに BSBS と二等分線 AS′AS' の両方の上にあるからである。