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第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 2/6: 相似な三角形が H での長さの等式を与える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

BC への二本の垂線（すなわち AE と SS'）を使った短い角度追跡により、三角形 AHD と BAH が相似であることが分かり、これにより目標の長さが二つの既知の線分の積に変換される。

AH2=BH⋅HDAH^2=BH\cdot HD
詳しい解説

S,O,S′S,O,S' は共線であり（OO は外心）、SS は弧の中点なので SS′⊥BCSS'\perp BC である。また仮定より AE⊥BCAE\perp BC なので AE∥SS′AE\parallel SS' となる。この二本の平行な弦が切り取る弧が等しいことから ∠EAS′=∠ABS\angle EAS'=\angle ABS を得る。φ=∠ABS\varphi=\angle ABS とおくと ∠DAH=φ=∠ABH\angle DAH=\varphi=\angle ABH となり、三角形 AHDAHD と BAHBAH は HH での角を共有し ∠DAH=∠ABH\angle DAH=\angle ABH を満たすので △AHD∼△BAH\triangle AHD\sim\triangle BAH である。したがって AHBH=DHAH\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{DH}{AH}、すなわち AH2=BH⋅HDAH^2=BH\cdot HD が成り立つ。B,D∈ωB,D\in\omega かつ HH が直線 BD (=BS)BD\,(=BS) 上にあることから、右辺はちょうど ω\omega に関する HH の方冪である。