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第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 3/6: 第二の解の円から直径が現れる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの円のまわりで角度を追跡すると、線分 EF（F は直線 PD と Omega の二番目の交点）が BC に平行であることが分かり、AE はすでに BC に垂直であるため、AF は直径でなければならないことが示される。

AF is a diameter of Ω,F=PD∩ΩAF\text{ is a diameter of }\Omega,\quad F=PD\cap\Omega
詳しい解説

F≠AF\ne A を直線 PDPD と Ω\Omega の二番目の交点とする。ω\omega と Ω\Omega を用いると ∠CBE=∠DLE=∠DPB=∠FCB\angle CBE=\angle DLE=\angle DPB=\angle FCB となり、EF∥BCEF\parallel BC を得る。AE⊥BCAE\perp BC なので AE⊥EFAE\perp EF でもあり、よって ∠AEF=90∘\angle AEF=90^\circ は Ω\Omega に内接し直径を張る：AFAF は Ω\Omega の直径である。