MathLabs

第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 4/6: 同じ横断線に沿って二つの比を一致させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外心からの中点連結線分と、BC に垂直な二本の直線に沿った線分 AD を比較すると等しい比が得られ、これがまさに OH が弦 PD に平行であるための条件である。

OH∥DQ,Q=PD∩SS′OH\parallel DQ,\qquad Q=PD\cap SS'
詳しい解説

Q=PD∩SS′Q=PD\cap SS' とおき、OO を Ω\Omega の中心とする。OO はステップ3で見つかった直径 AFAF の中点であり、QQ は弦 PFPF 上にあるので、平行線 SS′∥AESS'\parallel AE に沿った相似三角形の議論により OQ=12ADOQ=\tfrac12AD を得る。これと SO=12SS′SO=\tfrac12SS' を組み合わせると SOOQ=SS′AD=SHHD\dfrac{SO}{OQ}=\dfrac{SS'}{AD}=\dfrac{SH}{HD} を得る（最後の等式は横断線 BSBS に沿ったステップ2の相似三角形による）。この横断線 S,O,HS,O,H と S,Q,DS,Q,D に沿った比例関係により OH∥DQOH\parallel DQ、すなわち OH∥PDOH\parallel PD が導かれる。