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第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 5/6: 直径と平行線を組み合わせる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直径は円上のどの点も直角で見込むので、FP は AP に垂直である。OH が FP に平行であれば、OH も AP に垂直でなければならず、これにより H が AP の垂直二等分線上に置かれる。

HP=HAHP=HA
詳しい解説

AFAF は Ω\Omega の直径であるから（ステップ3）、∠APF=90∘\angle APF=90^\circ、すなわち FP⊥APFP\perp AP である。OH∥PD=PFOH\parallel PD=PF より（ステップ4）、OH⊥APOH\perp AP が従う。OO はすでに AA と PP から等距離にある（どちらも Ω\Omega 上にある）ため、OO を通り APAP に垂直な直線はちょうど APAP の垂直二等分線であり、HH もこの直線上にあるので HP=HAHP=HA である。