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第2問

ABCABC を AB<ACAB<AC を満たす鋭角三角形とする。Ω\Omega を ABCABC の外接円とする。SS を AA を含む Ω\Omega の弧 CBCB の中点とする。AA から BCBC への垂線は BSBS と点 DD で交わり、Ω\Omega と再び点 E≠AE\neq A で交わる。DD を通り BCBC に平行な直線は直線 BEBE と点 LL で交わる。三角形 BDLBDL の外接円を ω\omega とする。ω\omega が Ω\Omega と再び交わる点を P≠BP\neq B とする。PP における ω\omega の接線が直線 BSBS と交わる点は ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線上にあることを証明せよ。
ステップ 6/6: 接する結論を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

HP が HA に等しくなると、その平方は先に計算した omega に関する H の方冪と一致し、外部の点から引いた線分の平方がその点に関するある円の方冪に等しく、かつその円が線分の遠い方の端点を通るならば、その線分はそこで円に接していなければならない。

HP2=pow⁡(H,ω)  ⟹  HP tangent to ω at PHP^2=\operatorname{pow}(H,\omega)\implies HP\text{ tangent to }\omega\text{ at }P
詳しい解説

ステップ5とステップ2により、HP2=HA2=BH⋅HD=pow⁡(H,ω)HP^2=HA^2=BH\cdot HD=\operatorname{pow}(H,\omega) である。P∈ωP\in\omega なので、これはまさに直線 HPHP が点 PP で ω\omega に接するための条件である（方冪の定理の逆）。したがって PP における ω\omega の接線は HH を通り、これは直線 BSBS 上および ∠BAC\angle BAC の内角の二等分線 AS′AS' 上にあるので、証明が完了する。