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第3問

各整数 k≥2k\ge2 に対して、次を満たす多項式 PP が存在するような正整数の無限数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots をすべて決定せよ：P(x)=xk+ck−1xk−1+⋯+c1x+c0P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0 の形をしており、c0,c1,…,ck−1c_0,c_1,\ldots,c_{k-1} は非負整数であって、すべての整数 n≥1n\ge1 に対して P(an)=an+1an+2⋯an+kP(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} が成り立つ。
ステップ 2/6: 望遠鏡和のような恒等式
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

連続する二つの添字について定義関係を書き、それらを割ると積の大部分が打ち消し合い、ana_n と an+ka_{n+k} の間のすっきりした関係が残る。

P(an)P(an−1)=an+kan\dfrac{P(a_n)}{P(a_{n-1})}=\dfrac{a_{n+k}}{a_n}
詳しい解説

この関係式から P(an−1)=anan+1⋯an+k−1P(a_{n-1})=a_na_{n+1}\cdots a_{n+k-1} および P(an)=an+1an+2⋯an+kP(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k} が得られる。これらを割ると共通因子 an+1,…,an+k−1a_{n+1},\ldots,a_{n+k-1} がすべて打ち消し合い、P(an)/P(an−1)=an+k/anP(a_n)/P(a_{n-1})=a_{n+k}/a_n が残る。