第3問

各整数

k\ge2

に対して、次を満たす多項式

P

が存在するような正整数の無限数列

a_1,a_2,\ldots

をすべて決定せよ：

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0

の形をしており、

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

は非負整数であって、すべての整数

n\ge1

に対して

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

が成り立つ。

ステップ 6/6: 数列全体が等差数列になる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

P がこの特定の積と同一視されると、それが強制する増分の組は一意に定まるので、数列は最終的に同じ増分を永遠に繰り返さなければならず、逆向きの帰納法によりそれが最初から等差数列であったことが分かる。

a_n=a_1+(n-1)d\ \text{for all } n

詳しい解説

現れ得る組は有限個であり、各組 $e$ に対して $Q_e(X)=\prod_{j=1}^k(X+e_1+\cdots+e_j)$ とおく。ステップ5の組は $Q_e=P$ を満たす。他のどの組も有限回しか現れない。そうでなければ、その添字での相異なる $a_n$ が零でない多項式 $Q_e-P$ の無限個の根になってしまうからである。したがって十分大きなすべての $n$ で $\delta(n)=(d_1,\ldots,d_k)$ となる。 $\delta(n+1)$ にも同じことを適用すると、 $(d_2,\ldots,d_k,a_{n+k+1}-a_{n+k})=(d_1,\ldots,d_k)$ であり、よって $d_1=\cdots=d_k=:d$ 、数列の末尾は公差 $d$ の等差数列である。したがって $P(X)=F(X):=\prod_{j=1}^k(X+jd)$ 。等差数列を逆向きに延長するため、 $a_{n+1},\ldots,a_{n+k}$ がすでに公差 $d$ を持つと仮定する。このとき $F(a_n)=P(a_n)=\prod_{j=1}^k(a_{n+1}+(j-1)d)=F(a_{n+1}-d)$ である。関数 $F(t)$ は $t>-d$ で狭義単調増加し、両辺の引数はこの範囲にあるので、 $a_n=a_{n+1}-d$ となる。下向きの帰納法で $n=1$ まで到達し、すべての $n$ について $a_n=a_1+(n-1)d$ を得る。