MathLabs

第4問

x1,x2,…,x2023x_1,x_2,\ldots,x_{2023} を互いに異なる正の実数とし、すべての n=1,2,…,2023n=1,2,\ldots,2023 に対して an=(x1+x2+⋯+xn)(1x1+1x2+⋯+1xn)a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right) が整数であるとする。このとき a2023≥3034a_{2023}\ge3034 であることを証明せよ。
ステップ 3/3: 厳密なAM-GMが少なくとも3の増加を強制する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

選ばれる二つの数は常に異なるため、比 u が1になることはなく、ステップ2の下界は常に a_n+2 より真に大きくなる。そして整数性により、これは2ステップごとに少なくとも3という本当の増加へと格上げされる。

a2m+1≥3m+1  ⟹  a2023≥3034a_{2m+1}\ge3m+1\implies a_{2023}\ge3034
詳しい解説

xn+1≠xn+2x_{n+1}\ne x_{n+2} なので u≠1u\ne1 であり、したがって AM-GM から厳密に u+1u>2u+\frac1u>2 となり、ステップ2より an+2>an+2a_{n+2}>a_n+2 が得られる。an,an+2a_n,a_{n+2} はともに整数なので、an+2−ana_{n+2}-a_n は 22 を超える整数であり、よって an+2≥an+3a_{n+2}\ge a_n+3 となる。ステップ1の a1=1a_1=1 と合わせて、mm に関する帰納法により、すべての m≥0m\ge0 に対して a2m+1≥3m+1a_{2m+1}\ge3m+1 が成り立つ。m=1011m=1011（このとき 2m+1=20232m+1=2023）とすると a2023≥3⋅1011+1=3034a_{2023}\ge3\cdot1011+1=3034 が得られる。