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第6問

ABCABC を正三角形とする。A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 を三角形 ABCABC の内部の点とし、BA1=A1CBA_1=A_1C、CB1=B1ACB_1=B_1A、AC1=C1BAC_1=C_1B、かつ ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ を満たすとする。A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1、B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1、C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1 とする。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 が不等辺三角形であるならば、三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2、CC1C2CC_1C_2 の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。
ステップ 1/6: 480度の条件をきれいな角の和に読み替える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

A1、B1、C1 は各辺の上に作られた二等辺三角形の頂角に位置するため、与えられた3つの角はそれぞれ180度から底角の2倍を引いたものに等しく、単一の480度という条件はわずか3つの小さな角の和に帰着する。

α+β+γ=30∘,α=∠A1CB=∠CBA1, β=∠ACB1=∠B1AC, γ=∠C1AB=∠C1BA\alpha+\beta+\gamma=30^\circ,\quad \alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1,\ \beta=\angle ACB_1=\angle B_1AC,\ \gamma=\angle C_1AB=\angle C_1BA
詳しい解説

BA1=A1CBA_1=A_1C より三角形 BA1CBA_1C は二等辺三角形なので、α=∠A1CB=∠CBA1\alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1 として ∠BA1C=180∘−2α\angle BA_1C=180^\circ-2\alpha となる。同様に β,γ\beta,\gamma を類似に定義すると ∠CB1A=180∘−2β\angle CB_1A=180^\circ-2\beta、∠AC1B=180∘−2γ\angle AC_1B=180^\circ-2\gamma が成り立つ。仮定 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ は 540∘−2(α+β+γ)=480∘540^\circ-2(\alpha+\beta+\gamma)=480^\circ となり、すなわち α+β+γ=30∘\alpha+\beta+\gamma=30^\circ を得る。