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第6問

ABCABC を正三角形とする。A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 を三角形 ABCABC の内部の点とし、BA1=A1CBA_1=A_1C、CB1=B1ACB_1=B_1A、AC1=C1BAC_1=C_1B、かつ ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ を満たすとする。A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1、B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1、C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1 とする。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 が不等辺三角形であるならば、三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2、CC1C2CC_1C_2 の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。
ステップ 2/6: 各内部の点は外心である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2本のセビアン BC1 と CB1 によって A2 にできる角を追跡すると、それが BC に対して張る角がちょうど A1 における二等辺角の半分であることが分かり、A1 はすでに B と C から等距離にあるため、これによって A1 が外心であると特定できる。

∠BA2C=60∘+β+γ=90∘−α=12∠BA1C\angle BA_2C=60^\circ+\beta+\gamma=90^\circ-\alpha=\tfrac12\angle BA_1C
詳しい解説

∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ より ∠CBC1=60∘−γ\angle CBC_1=60^\circ-\gamma、∠B1CB=60∘−β\angle B_1CB=60^\circ-\beta となるので、三角形 BA2CBA_2C において ∠BA2C=180∘−∠CBC1−∠B1CB=60∘+β+γ\angle BA_2C=180^\circ-\angle CBC_1-\angle B_1CB=60^\circ+\beta+\gamma が成り立つ。α+β+γ=30∘\alpha+\beta+\gamma=30^\circ を使うとこれは 90∘−α90^\circ-\alpha に等しい。一方で ∠BA1C=180∘−2α=2(90∘−α)=2∠BA2C\angle BA_1C=180^\circ-2\alpha=2(90^\circ-\alpha)=2\angle BA_2C である。A1A_1 はすでに（BA1=A1CBA_1=A_1C より）BB と CC から等距離にあり、△A2BC\triangle A_2BC の正しい側の内部にあるため、この2倍の関係はまさに A1A_1 が △A2BC\triangle A_2BC の外心であるための条件であり、対称な議論により B1,C1B_1,C_1 がそれぞれ △B2CA,△C2AB\triangle B_2CA,\triangle C_2AB の外心であることが分かる。