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第6問

ABCABC を正三角形とする。A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 を三角形 ABCABC の内部の点とし、BA1=A1CBA_1=A_1C、CB1=B1ACB_1=B_1A、AC1=C1BAC_1=C_1B、かつ ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ を満たすとする。A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1、B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1、C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1 とする。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 が不等辺三角形であるならば、三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2、CC1C2CC_1C_2 の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。
ステップ 3/6: 3つの補助円と非巡回的な六角形
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

C2 と B2 はまさに半直線 A1B と A1C の上にあるので、六角形の A1 における角は、与えられた角 BA1C とまったく同じ角である。また別の場所での有向角の追跡により、各頂点の周りで注意深く選ばれた4点が同一円周上にあることが分かる。

∠C2A1B2=∠BA1C, ∠A2B1C2=∠CB1A, ∠B2C1A2=∠AC1B\angle C_2A_1B_2=\angle BA_1C,\ \angle A_2B_1C_2=\angle CB_1A,\ \angle B_2C_1A_2=\angle AC_1B
詳しい解説

180∘180^\circ を法とする有向角を用いる。ステップ2の外心の結果から B1A=B1C=B1B2B_1A=B_1C=B_1B_2 および C1A=C1B=C1C2C_1A=C_1B=C_1C_2 を得る。したがって A,C,B2A,C,B_2 は B1B_1 を中心とする円上にあり、A,B,C2A,B,C_2 は C1C_1 を中心とする円上にある。C2C_2 は AB1AB_1 上、B2B_2 は AC1AC_1 上なので、∡B2B1C2=180∘−∡AB1B2=180∘−2∡ACB2=180∘−2(60∘−α)=60∘+2α\measuredangle B_2B_1C_2=180^\circ-\measuredangle AB_1B_2=180^\circ-2\measuredangle ACB_2=180^\circ-2(60^\circ-\alpha)=60^\circ+2\alpha と計算できる。同様に、∡B2C1C2=180∘−∡AC1C2=180∘−2∡ABC2=180∘−2(60∘−α)=60∘+2α\measuredangle B_2C_1C_2=180^\circ-\measuredangle AC_1C_2=180^\circ-2\measuredangle ABC_2=180^\circ-2(60^\circ-\alpha)=60^\circ+2\alpha である。よって B2,C1,B1,C2B_2,C_1,B_1,C_2 は共円であり、その円を ωa\omega_a と呼ぶ。巡回的に ωb=(C2A1C1A2)\omega_b=(C_2A_1C_1A_2)、ωc=(A2B1A1B2)\omega_c=(A_2B_1A_1B_2) と定める。同じ角度計算でこれらの共円性も証明され、図だけに依存していない。最後に、A2,C1,B2,A1,C2,B1A_2,C_1,B_2,A_1,C_2,B_1 はこの順の真に凸な六角形をなす。0<α,β,γ<30∘0<\alpha,\beta,\gamma<30^\circ なので、各 AiA_i は対応する2本の線上の隣接点を越えた位置にあるからである。3つの補助円が互いに異ならないなら6頂点がすべて共円となる。しかし凸な内接六角形なら 360∘=∠C2A1B2+∠B2C1A2+∠A2B1C2=∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘360^\circ=\angle C_2A_1B_2+\angle B_2C_1A_2+\angle A_2B_1C_2=\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ で矛盾する。したがって補助円は互いに異なる。