MathLabs

第6問

ABCABC を正三角形とする。A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 を三角形 ABCABC の内部の点とし、BA1=A1CBA_1=A_1C、CB1=B1ACB_1=B_1A、AC1=C1BAC_1=C_1B、かつ ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ を満たすとする。A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1、B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1、C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1 とする。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 が不等辺三角形であるならば、三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2、CC1C2CC_1C_2 の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。
ステップ 4/6: 共軸性の補題が各外接円を特定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

2つの固定された円に対する冪の比が一定であるような点の軌跡はそれ自体が円であり、A、A1、A2 はすべて同じ比の条件を満たすため、その軌跡は問題で名付けられた円と厳密に一致するはずである。

Ca=(AA1A2)={P:pow⁡(P,ωb)=kapow⁡(P,ωc)}\mathcal C_a=(AA_1A_2)=\{P:\operatorname{pow}(P,\omega_b)=k_a\operatorname{pow}(P,\omega_c)\}
詳しい解説

直線 AA1AA_1 と ωb\omega_b のもう一つの交点を XX、ωc\omega_c のもう一つの交点を YY とし、有向比 ka=AXAYk_a=\dfrac{AX}{AY} を用いる。ωb,ωc\omega_b,\omega_c は異なる円で A1,A2A_1,A_2 を共有するので同心ではない。共軸性の補題より、軌跡 La:Pow⁡(P,ωb)=kaPow⁡(P,ωc)L_a:\operatorname{Pow}(P,\omega_b)=k_a\operatorname{Pow}(P,\omega_c) は ka≠1k_a\ne1 なら円、ka=1k_a=1 なら直線である。A1,A2∈LaA_1,A_2\in L_a は両方の冪が0だからであり、AA1AA_1 上では割線の冪定理により Pow⁡(A,ωb)=AX⋅AA1\operatorname{Pow}(A,\omega_b)=AX\cdot AA_1、Pow⁡(A,ωc)=AY⋅AA1\operatorname{Pow}(A,\omega_c)=AY\cdot AA_1 なので、kak_a の定義から A∈LaA\in L_a でもある。A,A1,A2A,A_1,A_2 は一直線上にないため LaL_a は直線ではなく、従って ka≠1k_a\ne1 であり、LaL_a はちょうど Ca=(AA1A2)\mathcal C_a=(AA_1A_2) である。2つの補助円で有向角を追うと ∠XAB1=30∘−β\angle XAB_1=30^\circ-\beta、∠A1XB1=30∘+γ\angle A_1XB_1=30^\circ+\gamma、同様に ∠YAC1=30∘−γ\angle YAC_1=30^\circ-\gamma、∠A1YC1=30∘+β\angle A_1YC_1=30^\circ+\beta を得る。したがって △AB1X\triangle AB_1X と △AC1Y\triangle AC_1Y に正弦定理を適用すれば AXAB1=sin⁡(β+γ)sin⁡(30∘+γ)\dfrac{AX}{AB_1}=\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(30^\circ+\gamma)}、AYAC1=sin⁡(β+γ)sin⁡(30∘+β)\dfrac{AY}{AC_1}=\dfrac{\sin(\beta+\gamma)}{\sin(30^\circ+\beta)} となる。これらはラベルのない図に頼らない、必要な有向角計算である。Cb,Cc\mathcal C_b,\mathcal C_c と kb,kck_b,k_c は巡回的に定める。