MathLabs

第6問

ABCABC を正三角形とする。A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 を三角形 ABCABC の内部の点とし、BA1=A1CBA_1=A_1C、CB1=B1ACB_1=B_1A、AC1=C1BAC_1=C_1B、かつ ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ を満たすとする。A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1、B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1、C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1 とする。三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 が不等辺三角形であるならば、三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2、CC1C2CC_1C_2 の外接円がすべて共通の2点を通ることを証明せよ。
ステップ 5/6: 3つの比の積は1になる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各比は、30足すalpha、30足すbeta、30足すgamma という同じ3つの量を3つの頂点に巡回的に割り当てた正弦定理の計算から作られるため、3つの比を掛け合わせるとすべての因子が連鎖的に打ち消し合う。

kakbkc=1k_ak_bk_c=1
詳しい解説

ステップ4の正弦定理の式から ka=AXAY=AB1AC1sin⁡(30∘+β)sin⁡(30∘+γ)k_a=\dfrac{AX}{AY}=\dfrac{AB_1}{AC_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\beta)}{\sin(30^\circ+\gamma)} を得る。巡回的に kb=BC1BA1sin⁡(30∘+γ)sin⁡(30∘+α)k_b=\dfrac{BC_1}{BA_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\gamma)}{\sin(30^\circ+\alpha)}、kc=CA1CB1sin⁡(30∘+α)sin⁡(30∘+β)k_c=\dfrac{CA_1}{CB_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\alpha)}{\sin(30^\circ+\beta)} である。仮定より BA1=CA1BA_1=CA_1、CB1=AB1CB_1=AB_1、AC1=BC1AC_1=BC_1 が成り立つ。したがって3式を掛けると正弦の因子も長さの因子もすべて消え、kakbkc=1k_ak_bk_c=1 となる。