第6問

ステップ4により、$\mathcal C_a,\mathcal C_b,\mathcal C_c$ はそれぞれ $\operatorname{Pow}(P,\omega_b)=k_a\operatorname{Pow}(P,\omega_c)$、$\operatorname{Pow}(P,\omega_c)=k_b\operatorname{Pow}(P,\omega_a)$、$\operatorname{Pow}(P,\omega_a)=k_c\operatorname{Pow}(P,\omega_b)$ を満たす点の軌跡である。$\mathcal C_a$ と $\mathcal C_b$ 上の点について最初の2式を掛け、$k_ak_bk_c=1$ を使えば第3式が得られるので、$\mathcal C_a\cap\mathcal C_b\subseteq\mathcal C_c$ であり、他の組も同様である。残るのは交点が実在し相異なることの確認である。標準的な交差弦判定を用いる。すなわち、真に凸な配置で2本の印付き弦の端点が交互に現れ、対応する2円の弧が各弦の反対側にあれば、2円は相異なる2つの実交点で交わる。等号は接線の場合に対応し、交わらなければ両方の弧が同じ側になる。$\mathcal C_a=(AA_1A_2)$ と $\mathcal C_b=(BB_1B_2)$ では、凸六角形 $A_2,C_1,B_2,A_1,C_2,B_1$ において弦 $A_2A_1$ と $B_2B_1$ の端点が交互に現れる。$0<\alpha,\beta,\gamma<30^\circ$ により $A$ と $B$ はこれらの弦が定める反対側の領域にあり、不等辺という仮定が等号（接線）の場合を排除する。従って $\mathcal C_a$ と $\mathcal C_b$ は相異なる2つの実交点 $U,V$ を持つ。最初の包含関係から $U,V$ はともに $\mathcal C_c$ 上にあり、3つの外接円が同じ2点を通ることが分かる。