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第1問

すべての正の整数 nn に対して、整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor が nn で割り切れるような実数 α\alpha をすべて求めよ。
ステップ 1/4: 整数の場合：偶数は成立し、奇数は失敗する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

アルファが整数のとき、すべての床関数が消えて和は単純な閉じた形になり、アルファが偶数のときに限りすべての n で割り切れる。

S(n,α)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2
詳しい解説

α\alpha が整数のとき、S(n,α):=⌊α⌋+⋯+⌊nα⌋=α(1+2+⋯+n)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha):=\lfloor\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor=\alpha(1+2+\cdots+n)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2 となる。すべての nn について n∣S(n,α)n\mid S(n,\alpha) を要求することは、すべての nn について α(n+1)2∈Z\dfrac{\alpha(n+1)}2\in\mathbb Z を意味し、これがすべての nn で成り立つのはちょうど α\alpha が偶数のときである。α\alpha が奇数の整数ならば、n=2n=2 のとき S(2,α)=3αS(2,\alpha)=3\alpha となり、これは奇数で 22 で割り切れないので、奇数の整数は失敗する。