MathLabs

第1問

すべての正の整数 nn に対して、整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor が nn で割り切れるような実数 α\alpha をすべて求めよ。
ステップ 2/4: 整数でない数を短い区間へ平行移動する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

アルファをアルファ引く2に置き換えると、和全体が n(n+1) の倍数だけ変化し、これは常に n の倍数であるため、アルファを偶数だけ平行移動しても整除性は変わらない。

S(n,α−2)−S(n,α)=−n(n+1)≡0(modn)S(n,\alpha-2)-S(n,\alpha)=-n(n+1)\equiv0\pmod n
詳しい解説

α\alpha が整数でないとする。α\alpha を α−2\alpha-2 に置き換えると、各床関数はその添字のちょうど 22 倍だけ変化するので、すべての nn について S(n,α−2)−S(n,α)=−2(1+2+⋯+n)=−n(n+1)≡0(modn)S(n,\alpha-2)-S(n,\alpha)=-2(1+2+\cdots+n)=-n(n+1)\equiv0\pmod n となる。したがって α\alpha を任意の偶数だけ平行移動しても整除性は変わらない。よって −1<α<1-1<\alpha<1 としてよい（さらに α≠0\alpha\ne0 とする。なぜなら α=0\alpha=0 はステップ1ですでに扱われた偶数だからである）。