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第1問

すべての正の整数 nn に対して、整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor が nn で割り切れるような実数 α\alpha をすべて求めよ。
ステップ 3/4: 0 < アルファ < 1 の場合は失敗する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

小さい正のアルファでは、アルファの累積和がついに1を超えるまで、すべての床関数は0であり、その結果総和はちょうど1回だけ1になるので、2以上のどんなmでも割り切れない。

0<α<1  ⟹  S(m,α)=10<\alpha<1\implies S(m,\alpha)=1
詳しい解説

0<α<10<\alpha<1 のとき、mα≥1m\alpha\ge1 を満たす最小の整数を m≥2m\ge2 とする。すると i=1,…,m−1i=1,\ldots,m-1 に対して ⌊iα⌋=0\lfloor i\alpha\rfloor=0 であり、⌊mα⌋=1\lfloor m\alpha\rfloor=1 である（α<1\alpha<1 より mα<mm\alpha<m となり、最小性から実際には mα<2m\alpha<2 なので床関数はちょうど 11 になる）。よって S(m,α)=1S(m,\alpha)=1 となるが、これは m≥2m\ge2 で割り切れない。これは要求された性質に矛盾する。