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第1問

すべての正の整数 nn に対して、整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor が nn で割り切れるような実数 α\alpha をすべて求めよ。
ステップ 4/4: -1 < アルファ < 0 の場合は失敗し、アルファが偶数であると結論づける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

小さい負のアルファでは、累積和がついに-1を下回るまで、すべての床関数は-1に等しく、その時点で-2になるため、結果として得られる総和はmの倍数よりちょうど1だけ小さく、mで割り切れることは決してない。

−1<α<0  ⟹  S(m,α)=−(m+1)-1<\alpha<0\implies S(m,\alpha)=-(m+1)
詳しい解説

−1<α<0-1<\alpha<0 のとき、mα≤−1m\alpha\le-1 を満たす最小の整数を m≥2m\ge2 とする。すると i=1,…,m−1i=1,\ldots,m-1 に対して ⌊iα⌋=−1\lfloor i\alpha\rfloor=-1 であり、（最小性により mα>−2m\alpha>-2 なので）⌊mα⌋=−2\lfloor m\alpha\rfloor=-2 となる。よって S(m,α)=−(m−1)−2=−(m+1)S(m,\alpha)=-(m-1)-2=-(m+1) となるが、gcd⁡(m,m+1)=1\gcd(m,m+1)=1 かつ m≥2m\ge2 なので、これは mm で割り切れない。整数でない α\alpha の二つの場合いずれも矛盾に至るので、ステップ1と合わせて α\alpha は偶数でなければならない。