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第4問

内心 II を持つ三角形 ABCABC は AB<AC<BCAB<AC<BC を満たすとする。直線 BCBC 上の点 XX（CC とは異なる）を、XX を通り ACAC に平行な直線が内接円に接するように取る。同様に、直線 BCBC 上の点 YY（BB とは異なる）を、YY を通り ABAB に平行な直線が内接円に接するように取る。直線 AIAI は三角形 ABCABC の外接円と再び点 PP で交わる。KK、LL をそれぞれ ACAC、ABAB の中点とする。∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 菱形の対称性が二本の新しい接線を生む
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

内心を中心とする点対称は内接円をそれ自身に写し、三角形の各辺をその辺に平行なもう一方の接線に写す。この変換はAをTに写すので、そのもう一方の接線は必ずTを通る。

TX∥AC, TY∥AB are tangent to the incircleTX\parallel AC,\ TY\parallel AB\ \text{are tangent to the incircle}
詳しい解説

II に関する点対称は内接円を保ち、接線 ACAC を TT を通るそれと平行なもう一つの接線へ移す。XX の定義によりそれが TXTX である。同様に TYTY は接線であり TY∥ABTY\parallel AB である。さらに単に共線であるだけでなく、BCBC 上の順序も必要である。a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB、s=(a+b+c)/2s=(a+b+c)/2 とおき、座標 B=(0,0)B=(0,0)、C=(a,0)C=(a,0)、A=(u,v)A=(u,v) を取る。内心は I=(aA+bB+cC)/(2s)I=(aA+bB+cC)/(2s)、T=2I−AT=2I-A である。T+λ(C−A)T+\lambda(C-A) と T+μ(B−A)T+\mu(B-A) を BCBC と交わらせると、BX=a(s−b)sBX=\frac{a(s-b)}s および BY=acsBY=\frac{ac}s を得る。0<s−b<c<s0<s-b<c<s なので 0<BX<BY<a0<BX<BY<a、従って B,X,Y,CB,X,Y,C はこの順に並ぶ。これは各平行線の組で選ぶ接線も確定し、以下の全ての半直線の向きを定める。