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第4問

内心 II を持つ三角形 ABCABC は AB<AC<BCAB<AC<BC を満たすとする。直線 BCBC 上の点 XX（CC とは異なる）を、XX を通り ACAC に平行な直線が内接円に接するように取る。同様に、直線 BCBC 上の点 YY（BB とは異なる）を、YY を通り ABAB に平行な直線が内接円に接するように取る。直線 AIAI は三角形 ABCABC の外接円と再び点 PP で交わる。KK、LL をそれぞれ ACAC、ABAB の中点とする。∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ であることを証明せよ。
ステップ 3/4: TはAP上にあり、二つの内接四角形を与える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

TはAのIに関する対称点であるため、外接円上にPを生み出すのと同じ直線AI上に自動的に位置する。したがって、PからAへ向かう角は密かにPからTへ向かう角でもある。平行線TYと組み合わせることで、これはきれいな内接四角形へとつながる。

A,I,T,P collinear;∠TYC=∠ABC=∠APC=∠TPCA,I,T,P\ \text{collinear};\qquad \angle TYC=\angle ABC=\angle APC=\angle TPC
詳しい解説

T=2I−AT=2I-A は直線 AIAI 上にあり、PP は定義により直線 AIAI と外接円との第二の交点であるから、四点 A,I,T,PA,I,T,P は共線である。したがって直線 PTPT は直線 PAPA と同じである。B,Y,CB,Y,C が共線であり TY∥ABTY\parallel AB（ステップ2）であるから、∠TYC=∠TYB=∠ABC\angle TYC=\angle TYB=\angle ABC（有向角、直線 BCBC が YY を通る一本の直線であることを用いる）。ABPCABPC が共円であり、B,PB,P が弦 ACAC に関して同じ弧上にあるから、∠ABC=∠APC\angle ABC=\angle APC である。また TT が直線 PAPA 上にあるから、∠APC=∠TPC\angle APC=\angle TPC である。ゆえに ∠TYC=∠TPC\angle TYC=\angle TPC となり、T,Y,P,CT,Y,P,C は共円である。TX∥ACTX\parallel AC を用いた対称な議論により ∠TXB=∠ACB=∠APB=∠TPB\angle TXB=\angle ACB=\angle APB=\angle TPB となるので、T,X,P,BT,X,P,B も共円である。