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第4問

内心 II を持つ三角形 ABCABC は AB<AC<BCAB<AC<BC を満たすとする。直線 BCBC 上の点 XX（CC とは異なる）を、XX を通り ACAC に平行な直線が内接円に接するように取る。同様に、直線 BCBC 上の点 YY（BB とは異なる）を、YY を通り ABAB に平行な直線が内接円に接するように取る。直線 AIAI は三角形 ABCABC の外接円と再び点 PP で交わる。KK、LL をそれぞれ ACAC、ABAB の中点とする。∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ であることを証明せよ。
ステップ 4/4: Tでの角の加法とX、Yでの補角が証明を完成させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

角BTCをPを通して分割し、二つの内接四角形を用いて各半分を書き換えると、それは外側から測った三角形PXYの二つの底角になり、これらはPにおけるその三角形の角と補角の関係にある。

∠BTC+∠XPY=180∘  ⟹  ∠KIL+∠YPX=180∘\angle BTC+\angle XPY=180^\circ\implies\angle KIL+\angle YPX=180^\circ
詳しい解説

180∘180^\circ を法とする有向角を用いる。ステップ3の二つの内接四角形から ∠CTP=∠CYP\angle CTP=\angle CYP および ∠PTB=∠PXB\angle PTB=\angle PXB を得る。B,X,Y,CB,X,Y,C はこの順に同一直線上にあるので、各角の最初の半直線を反転しても有向角は変わらず、∠CYP=∠XYP\angle CYP=\angle XYP、∠PXB=∠YXP\angle PXB=\angle YXP が有向角として成り立つ。したがって三角形 PXYPXY の有向角の和を使うと、∠CTB=∠CTP+∠PTB=∠XYP+∠YXP=∠XPY\angle CTB=\angle CTP+\angle PTB=\angle XYP+\angle YXP=\angle XPY は 180∘180^\circ を法として成り立つ。ここで通常の角の代表を選ぶ。AA から BCBC への高さは 2Δ/a2\Delta/a、内接半径は r=Δ/sr=\Delta/s であり、s>as>a なので 2Δ/a>2r2\Delta/a>2r である。従って AA の II に関する反転点 TT は AA と反対側の BCBC の側にある。直線 AAI の内部点 II を通る半直線は BCBC を通過してから外接円と再び交わるので、第二交点 PP も同じ側にある。B<X<Y<CB<X<Y<C だから、この配置では有向角の等式に対応する二つの通常角は補角になる（TT での角は線分 BCBC 全体に向かい、PP での角はその内部部分 XYXY を見込む）。よって ∠BTC+∠XPY=180∘\angle BTC+\angle XPY=180^\circ。最後にステップ1の ∠KIL=∠BTC\angle KIL=\angle BTC と ∠XPY=∠YPX\angle XPY=\angle YPX を用いれば、求める和は 180∘180^\circ である。