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第6問

関数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q が、すべての x,y∈Qx,y\in\mathbb Q に対して f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y または f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y) を満たすとき、aquaesulian であるという。任意の aquaesulian 関数 ff に対して、ある有理数 rr を用いた f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) の形の相異なる有理数が高々 cc 個しか存在しないような整数 cc が存在することを示し、そのような cc の最小値を求めよ。
ステップ 1/5: 記法と常に成り立つ場合 x から x
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この関係に名前を付けることで、問題の仮定は「どの組についても、少なくとも一方向が成り立つ」と読み替えられる。また、両方の変数を同じ値にすると、この関係は常に自明に成り立つ。

x→y:  ⟺  f(x+f(y))=f(x)+yx\to y:\iff f(x+f(y))=f(x)+y
詳しい解説

x→yx\to y を f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y の意味で用いる。問題の条件は、すべての x,yx,y に対して x→yx\to y または y→xy\to x の少なくとも一方が成り立つというものである。y=xy=x とすれば自明に x→xx\to x、すなわちすべての xx に対して f(x+f(x))=x+f(x)f(x+f(x))=x+f(x) が成り立つ。